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Binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation


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Binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation Relation (Mathematik) – Wikipedia

Oftmals verhalten sich verschiedene Objekte in bestimmten Aspekten gleich oder besitzen gleiche, beziehungsweise sehr ähnliche Eigenschaften. In diesem Kapitel wirst du die mathematischen Werkzeuge kennen lernen, mit denen du solche Äquivalenzen zwischen Objekten einer Grundmenge sauber binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation kannst. Eine Beziehung, die die Gleichwertigkeit zwischen Objekten unter bestimmten Aspekten ausdrückt, wird Äquivalenzrelation genannt.

Wir werden sehen, dass folgende Relation auf der Grundmenge aller bisher gedruckter Buchexemplare eine Äquivalenzrelation ist:. Wir werden sehen, dass die Eigenschaften der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität der obigen Relation, genau diejenigen sind, legt binäre Beziehung fest hinreichend und notwendig für eine Äquivalenzrelation sind.

Es gibt eine weitere Möglichkeit, Äquivalenzrelationen zu beschreiben: Die Möglichkeit, die Grundmenge in verschiedene disjunkte Teilmengen zu zerlegen. Nehmen wir wieder das obige Beispiel mit den Büchern. Eine so entstandene Teilmenge werden wir später Äquivalenzklasse nennen. Das Ergebnis ist eine Zerlegung der Grundmenge aller gedruckter Buchexemplare in disjunkte Teilmengen.

Jede dieser Teilmengen steht für ein konkretes Schriftwerk eines Autors. Man kann diese Teilmengen nun als neue Objekte betrachten. Dadurch erhältst du die Menge aller Schriftwerke. Jedes Schriftwerk ist dabei als Menge, nämlich der Menge aller Exemplare dieses Binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation, modelliert.

Durch eine Zerlegung einer Menge mit Hilfe einer Äquivalenzrelation können also neue Objekte modelliert werden dies ist binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation gängige Vorgehensweise in der Mathematik. Eine Äquivalenzrelation ist eine homogene, binäre Relation auf einer Grundmenge, die folgende Eigenschaften besitzt:. Was musst du tun, wenn du entscheiden sollst, ob eine Relation eine Äquivalenzrelation ist oder nicht?

Um zu entscheiden, ob eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, musst du folgende Fragen beantworten:. Welche der folgenden Relationen ist eine Äquivalenzrelation? Damit steht jedes Element mit jedem anderen Element in Relation. Im obigen Beispiel haben wir durch die Äquivalenzrelation die Grundmenge in disjunkte Teilmengen zerlegt, indem wir alle Buchexemplare in einer Teilmenge zusammengefasst haben, die in Relation steht.

Dies beantwortet der folgende Satz:. Wie sehen die Äquivalenzklassen der folgenden Äquivalenzrelationen aus? Oft haben wir bereits von der Zerlegung einer Menge gesprochen welche in der Mengenlehre auch Partition genannt wird. Eine Zerlegung ist eine Aufteilung einer Grundmenge in verschiedene Teilmengen, so dass jedes Element aus der Grundmenge in binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation einer Teilmenge enthalten ist.

Eine Zerlegung kann man also als eine Menge von Teilmengen der Grundmenge auffassen. Damit garantiert ist, dass jedes Element der Grundmenge in genau einer Teilmenge enthalten ist, müssen zusätzliche Bedingungen erfüllt sein, die in der folgenden Definition zusammengefasst sind:. Binäre Kunstunterricht nächsten Abschnitt werden wir binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelation und der durch ihr definierten Zerlegung genauer untersuchen.

Wollen wir nun den Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und der Zerlegung einer Menge untersuchen. Im einführenden Beispiel haben wir gesehen, dass eine Äquivalenzrelation eine Zerlegung der Grundmenge definiert, indem man alle äquivalenten Elemente in einer Teilmenge, der Äquivalenzklasse, zusammenfasst. Doch wie sieht es umgekehrt aus? Diese Äquivalenzrelation ist definiert durch:. Existenz einer Äquivalenzrelation, die diese Zerlegung induziert.

Aus den Behauptungen 2. Wenn du Fragen zum Inhalt hast oder etwas nicht verstanden hast, kontaktiere binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation. Wir werden dir deine Fragen gerne beantworten! Auch für Kritik und Anmerkungen sind wir sehr dankbar! Unsere Artikel sind gewissenhaft recherchiert, aber vereinzelte Fehler können nicht ausgeschlossen werden.

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Bitte informiere dich selbstständig, ob du mit ihren Datenschutzbestimmungen einverstanden bist. Welche Eigenschaften besitzt diese Relation? Die Relation ist reflexiv: Dieses steht mit sich selbst in Relation, weil die Relation reflexiv ist, und damit ist die Relation nicht irreflexiv. Damit ist die Relation nicht linear. Um zu entscheiden, ob eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, musst du folgende Fragen beantworten: Dabei ist binäre Beziehungen und ihre Eigenschaften die Äquivalenzrelation Klasse als Menge aller Schüler modelliert, die diese Klasse besuchen.

Es gibt zwei Äquivalenzklassen: Jede Äquivalenzklasse ist einelementig. Die Zerlegungsmenge ist ungleich der Grundmenge. Wie kann eine solche Äquivalenzrelation aussehen? Diese Äquivalenzrelation ist definiert durch: Den Bereich zur Analysis 1 gibt es jetzt auch als Buch! Buch kaufen PDF downloaden. Über ehrenamtliche Autorinnen und Autoren — die meisten davon selbst Studierende — haben daran mitgewirkt. Wir wollen, dass alle Studierende die Konzepte der Hochschulmathematik verstehen und dass hochwertige Bildungsangebote frei verfügbar sind.

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Mathematik für Informatik Studenten 24 - Mengenlehre : Äquivalenzrelation

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