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Binäre Bäume und Operationen an ihnen


Suche in binären Bäumen: Erstellen eines binären Suchbaumes: Einfügen in binären Suchbäumen: Löschen in binären Suchbäumen. Bäume sind eine der wichtigsten Binäre Bäume und Operationen an ihnen der Informatik. Es geht darum Schülern einen erweiterten Einblick in das Thema zu geben und auf das wissenschaftliche Arbeiten vorzubereiten.

Des weiteren kann es von einem Lehrer dazu genutzt werden seine Unterrichtseinheit zu dem Thema zu planen und sich an die hier gegebenen Erklärungen und Binäre Bäume und Operationen an ihnen anzulehnen.

Nach den Unterrichtseinheiten sollen die Schüler in der Lage sein, einfache Operationen am binären Baum durchzurühren Suche nach Elementen und löschen von Elementensowie dazu in der Lage sein, selbst einen binären Baum zu erstellen.

Es werden dir die Grundstrukturen und Binäre Bäume und Operationen an ihnen von binären Bäumen näher gebracht werden. Wir haben dieses Skript so erstellt, dass ihr möglichst wenig Vorwissen braucht und falls doch etwas unklar sein sollte, dann fragt bei eurem Lehrer nach oder sucht im Internet, welches voll von nützlichen Informationen Binäre Bäume und Operationen an ihnen kann, wenn man es richtig nutzt.

Im ersten Teil dieses Skriptes werden wir bestimmte Begriffe klären, die wir brauchen um mit Binären Bäumen arbeiten zu können. Wir zeigen schrittweise, wie man im Binären Baum sucht, einen solchen erstellt und daraus wieder Elemente löscht. Im zweiten Teil, bekommt ihr die Gelegenheit binäre Bäume zu erstellen und die erlernten Operationen noch einmal selbst auszuführen. Bäume sind grundlegende Datenstrukturen in der Informatik und spielen in vielen Algorithmen z. Such- und Sortieralgorithmen eine Rolle.

Dieses Skript beschränkt sich auf binäre Bäume. Bäume bestehen more info Knoten als Kreise dargestelltdie miteinander durch Kanten dargestellt als Pfeile verbunden sind. Binäre Bäume sind Bäume mit höchstens zwei Nachfolgern pro Knoten; einem linken und einem rechten Nachfolger.

Ein Binärbaum ist entweder leer oder besteht aus einem Knoten oder aus einem Knoten und bis zu zwei Binärbäumen. Diese Bäume werden als linker und rechter Teilbaum bezeichnet. In jedem Baum gibt es genau einen Knoten ohne Vorgänger, diesen nennt man Wurzel.

Von der Wurzel aus gibt es zu jedem Knoten genau einen Weg. Ein Knoten ohne Nachfolger wird Blatt genannt. Diese Regel muss für alle Knoten gelten- nur dann ist der Baum auch ein binärer Suchbaum. Stelle dir vor, du bist ein Forscher und hast ein Tier gefunden dessen Namen du nicht kennst. Du kennst nur einige Eigenschaften des Tieres. Mit einem Baum wie dem untenstehenden kannst du Binäre Bäume und Operationen an ihnen leicht den Namen des Tieres herausfinden.

Binäre Bäume und Operationen an ihnen jedem dieser Knoten steht ein Kriterium bzw. Wert mit dem du die Eigenschaft deines Tieres überprüfst. Ist die Überprüfung positiv gehst du links entlang. Diese Suche ist so sehr intuitiv. Du überprüfst an jedem Knoten den du durchläufst ob das enthaltene Kriterium Wahr oder Falsch ist und wählst dementsprechend deinen nächsten Knoten aus den du besuchst.

Dieses Beispiel ist sehr speziell. Im nächsten Schritt suchen wir eine Zahl in einem Baum- dabei verwenden wir genau das selbe Schema wie in der Suche zuvor! Die gesuchte Zahl sei Die Aussage ist wahr, deshalb wählen wir den nächsten Knoten auf der linken Seite. Wenn wir jetzt wieder den Wert des Knotens überprüfen merken wir, dass wir den gesuchten Knoten gefunden haben! Es sollen nun in einen binären Suchbaum Daten eingetragen werden. Dazu verwenden wir 15 unsortierte Zahlen:. Alle weiteren Elemente die du einfügen willst fügst du nach dem Prinzip ein dass du schon vom Suchen kennst.

Du überprüfst this web page der einzufügende Wert kleiner ist als der Wurzelwert, bzw. Führt dich diese Abfrage an eine Binäre Bäume und Operationen an ihnen, an der noch kein weiterer Knoten existiert- hängst du deinen Binäre Bäume und Operationen an ihnen an. Einen Baum, den wir auf die beschriebene Weise erstellt haben, nennen wir einen binären Suchbaum.

Es lassen sich viele Arten von Daten in einen binären Suchbaum speichern, Voraussetzung eines Binären Suchbaumes ist eine Ordnungsrelation auf den eingetragenen Elemente.

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Knoten die weder Blatt noch Wurzel sind, nennt man innere Knoten. Ein binärer Suchbaum ist ein binärer Baum mit folgender Eigenschaft: Die nachfolgende Grafik veranschaulicht http://livecam-x.de/binaere/beste-binaere-makler-2017.php eben erklärten Begriffe: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Suche in binären Bäumen: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Dieses Beispiel ist sehr speziell.

Abbildung Binäre Bäume und Operationen an ihnen dieser Leseprobe nicht enthalten Die gesuchte Zahl sei Der folgende Pseudocode illustriert die Arbeitsweise des Algorithmus: Dazu verwenden wir 15 unsortierte Zahlen: Die Regel, nach der binäre Suchbäume aufgebaut sein müssen kennst du ja bereits. Willst du einen binären Suchbaum erstellen gehe so vor: Das erste Element in der Liste wird die Wurzel des Baumes.

Pseudocode zum erstellen eines Binären Baumes: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Einen Baum, den wir auf die beschriebene Weise erstellt für Binärdatei und unsere, nennen wir einen binären Suchbaum.

Die nachfolgende Grafik zeigt den eben erstellten Baum: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Es lassen sich viele Arten von Daten in einen binären Suchbaum speichern, Voraussetzung eines Binären Suchbaumes ist eine Ordnungsrelation auf den eingetragenen Elemente. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Löschen in binären Suchbäumen Es gibt verschiedene Möglichkeiten das Löschen ist trivial, wenn der zu löschende Knoten ein Blatt ist: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten [ Judith Butlers Kritik am binären Geschlechtermodell und dessen sozi Das Ideal der binären Geschlechter.

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Ein Baum kann theoretisch völlig ungeordnet, continue reading chaotisch aufgebaut sein. Solange jeder Knoten mindestens zwei Nachfolger hat, handelt es sich um einen Baum.

Binäre Bäume und Operationen an ihnen der Informatik sind solche ungeordneten Bäume in der Regel nutzlos. Bäume dienen meistens zum Speichern von Daten, und Daten will man möglichst schnell wiederfinden.

Daher muss ein Baum geordnet sein. Das erreicht man mit Hilfe einer bestimmten Klasse von Bäumen, den sogenannten binären Suchbäumen. Die Wurzel enthält als Inhalt die Zahl Alle Knoten links von der Wurzel haben kleinere Zahlen als Inhalt, alle Knoten rechts der Wurzel dagegen Zahlen, die nicht kleiner sind.

Diese Regel gilt auch für jeden der inneren Knoten. Schauen wir uns beispielsweise den Knoten 33 an. Nach dieser Vorbetrachtung sollte die Definition des Begriffs "binärer Suchbaum" eigentlich kein Problem mehr sein:. Ein Binäre Bäume und Operationen an ihnen Suchbaum Schule ist binäre ein Binärbaumbei dem für alle Unterbäume gilt:. Natürlich kann man weitere Operationen in diese Definition here, zum Beispiel könnte man Operationen entwerfen, die den linken binäre Einstellungen. Welche Vorteile hat nun ein solcher binärer Suchbaum gegenüber einer doppelt verketteten sortierten Liste von Elementen?

Schauen wir uns dazu eine konkrete Liste an. Auf die Wiedergabe der Zeiger wurde hier aus Übersichtsgründen verzichtet. Das Element 78 soll durch eine lineare Suche gefunden werden.

Dazu sind vier Vergleiche notwendig, wie man unschwer erkennen kann. Die gleiche Suche in unserem binären Suchbaum aus der Abbildung oben würde nur drei Vergleiche kosten. Um das Element in der Liste zu finden, wären bei einer linearen Suche fünf Vergleiche notwendig. In dem Suchbaum finden wir die bereits nach einem Vergleich, denn die ist ja die Wurzel des Baums.

Man erkennt sofort, dass das Suchen in dem Binärbaum im Durchschnitt viel schneller geht als in einer sortierten Liste. Hier könnte man natürlich einwenden: Würde man die sortierte Liste mit einem binären Verfahren durchsuchen, so ginge das genau so schnell wie das Durchsuchen eines Binärbaums. Dieser Einwand ist berechtigt, allerdings ist das binäre Suchen ja auch eine Methode, bei der man eine sortierte Liste Binäre Bäume und Operationen an ihnen vorübergehend in einen binären Suchbaum verwandelt.

Man macht sich also die gleiche Technik zu Nutze, die auch in einem binären Suchbaum steckt. Die 15 Zahlen sind geordnet untergebracht; alle Zahlen des jeweils linken Teilbaums sind kleiner als die Zahl in der Wurzel, und die nicht-kleineren Zahlen befinden sich jeweils im rechten Teilbaum. Jeder Knoten hat maximal zwei Nachfolger, und damit sind alle Bedingungen für einen binären Suchbaum erfüllt.

Allerdings ist dieser Baum nicht optimal aufgebaut. Zum Binäre Bäume und Operationen an ihnen der Zahl beispielsweise benötigt man 7 Vergleiche, weil sich die in der 7. Ebene des Baumes befindet. Zum Finden der 10 dagegen werden nur 3 Vergleiche benötigt. Rechnet man alles zusammen:.

Um eine vorhandene Zahl in diesem Baum Binäre Bäume und Operationen an ihnen finden, sind also im Schnitt 4,13 Vergleiche notwendig. Allerdings ist dieser binäre Suchbaum optimal aufgebaut, er ist vollständig ausgeglichen.

Maximal 4 Vergleiche sind zum Auffinden einer Zahl notwendig. Die genaue Berechnung liefert. Um die sieben Zahlen in dem vollbesetzten Baum mit drei Ebenen zu finden, sind maximal 3 Vergleiche notwendig. Erzeugt einen Binäre Bäume und Operationen an ihnen Suchbaum. Das Element x wird hinzugefügt, und zwar in den linken Unterbaum, wenn es kleiner ist als die Wurzel, ansonsten in den rechten Unterbaum.

Das Element x wird entfernt, falls es vorhanden ist. Eine sortierte Liste von Zahlen. Für Experten Hier könnte man natürlich Binäre Bäume und Operationen an ihnen Ein sehr rechtslastiger Binärbaum. Ein vollständig ausgeglichener Binärbaum.


Binärbäume + Traversierungen

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